Jednou z
oblastí moderní matematiky, které v posledních desetiletích dosáhly
nejvýrazněších úspěchů v praktických aplikacích, je fuzzy logika. Jde o rozšíření klasické
dvouhodnotové logiky na celou množinu svazově uspořádaných pravdivostních
hodnot (touto množinou je
nejčastěji interval [0,1]) s cílem, umožnit vágní či přibližný popis okolní
reality a usuzování na základě takového popisu. Na intervalu pravdivostních
hodnot [0,1] lze však rozmanitým způsobem interpretovat logické spojky
(konjunkce, disjunkce, negace), proto ve skutečnosti existuje celá řada fuzzy
logik (pravděpodobně nejznámější jsou Łukasiewiczova, Gödelova a produktová
logika). Do různých z nich se v různé míře přenáší výsledky klasické logiky.
Jedním z výsledků klasické logiky nejčastěji využívaných v praktických aplikacích
je možnost popsat libovolné
zobrazení {0,1} do {0,1} jako funkci pravdivosti vhodného logického tvrzení.
Zatímco již z teorie množin je známo, že funkce pravdivosti spočetné
množiny logických tvrzení nemohou pokrýt celou množinu zobrazení [0,1] do [0,1],
bylo by velmi žádoucí vědět, jakou množinu zobrazení funkce pravdivosti tvrzení
jednotlivých fuzzy logik představují, a mít k dispozici algoritmy, které
ke každému zobrazení z této množiny odpovídajíci tvrzení najdou.
V posledních letech značně pokročil výzkum této problematiky
v Łukasiewiczově logice. Přestože dosud navržené algoritmy pro popis
zobrazení [0,1] do [0,1] pomocí tvrzení Łukasiewiczovy logiky jsou málo
efektivní, ukazují, že problém popisu široké třídy zobrazení pomocí logických tvrzení
i v Łukasiewiczově logice řešitelný je, a jsou inspirací pro výzkum tohoto
problému i v dalších fuzzy logikách.
Právě
takový výzkum by měl být náplní navržené diplomové práce. Diplomant by se měl
nejdříve seznámit s existujícimi algoritmy pro popis zobrazení [0,1] do
[0,1] pomocí logických tvrzení v případě Łukasiewiczovy logiky, a měl by
prostudovat i některé další fuzzy logiky, zejména logiky příbuzné
Łukasiewiczově. Vlastní přínos práce by měl spočívat v navržení jednoho
nebo více analogických algoritmů pro některou z prostudovaných fuzzy
logik. Práci by měl dovést do stádia praktické použitelnosti implementací
některého nebo některých z těchto algoritmů v prostředí Matlab a
testováním na reálných datech.